Berechnung der Entfernung zweier geographischer Koordinaten

[Alexander]

Hallo ihr Geographen und Mathematiker,

wie stellt man es rechnerisch an, die Entfernung zweier Koordinaten zu berechnen? Ich habe z.B. 32,52054 N, 12,5745E und 32,78542 N und 13,01525 E. Es gibt bestimmt eine Formel, mit deren Hilfe man die Berechnung durchführen kann.

Viele Grüsse
Alex

[Horst]

Hallo Alex,

es handelt sich hier um ein Problem der sphärischen Trigonometrie. Ich will mal versuchen, die Lösung ohne viel Theorie als Kochrezept zu skizzieren.
Hierbei gehe ich in guter Näherung davon aus, daß die Erde eine Kugel ist...

1) Gegeben sind zwei Punkte A und B mit Breiten- und Längengrad (Ba,La) und (Bb,Lb).

2) Die kürzeste Entfernung dieser beiden Punkte ist ein Bogen A^B, der auf einem Großkreis liegt. (Alle Großkreise einer Kugel haben den gleichen Radius wie die Kugel.)

3) Auf jedem der Meridiane der beiden Punkte ist der Bogen vom Äquator zum Punkt als geographische Breite B angegeben. Somit gilt für die jeweiligen Bögen der Punkte zum Nordpol N: 90°-B

4) Wir haben jetzt also ein sphärisches Dreieck aus drei Bögen:
- von A zum Nordpol: A^N = 90°-Ba
- von B zum Nordpol: B^N = 90°-Bb
- von A nach B: A^B (unser gesuchter Bogen)
Der Winkel zwischen den Meridianen ist die Differenz der Längengrade (hierbei werden Grade östlicher Länge mit negativem Vorzeichen geführt).
Die Differenz ist: dL = La-Lb

5) Den gesuchten Großkreisbogen g = A^B findet man nun nach dem Seitenkosinussatz:

cos g = cos(90°-Ba) * cos(90°-Bb) + sin(90°-Ba) * sin(90°-Bb) * cos(dL)

Das wird vereinfacht zu:

cos g = sin(Ba) * sin(Bb) + cos(Ba) * cos(Bb) * cos(dL)

Mittels Taschenrechner kann man jetzt den gesuchten Bogen g bestimmen.

6) g ist noch ein Winkel und keine Strecke, da bisher der Kugelradius noch keine Rolle spielte.

Die Länge G des Bogens g ergibt sich mit Radius R wie folgt:

G = 2 * Pi * R * g / 360°

Für unsere Erde kann man als Radius 6371 km verwenden!
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Zu deinem Beispiel:

Punkt A: Ba=32,52054 La=-12,5745
Punkt B: Bb=32,78542 Lb=-13,01525

Nach obenstehender Formel:

cos g = sin(32,52054) * sin(32,78542) + cos(32,52054) * cos(32,78542) * cos(0,44075)

cos g = 0,5376019217 * 0,5414942945 + 0,8431987747 * 0,8407044242 * 0,9999704125

cos g = 0,2911083733 + 0,7088599663 = 0,9999683396

g = 0,455928746° (der gesuchte Bogen)

G = 2 * Pi * 6371km * 0,455928746 / 360 = 50,697 km

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Durch die Näherung der Erde als Kugel liegt die Genauigkeit des Ergebnisses bei ca. 0,3%.

Gruß, Horst

[Uwe Schmitz]

WOOW, horst !!!
besser hätte das auch kein kartograf und kein geodät erklären können !
wer und wo lernt so was der privatmann als hobby oder isses doch dein beruf
danke für soviel einfache erklärung auch von mir

uwe
P.S.: schade, dass das z.zt. so wenige leute hier lesen...

[Horst]

Danke für die Blumen, Uwe :-))

Es freut mich natürlich sehr, wenn meine Erklärung verständlich war.

Mein Beruf ist es nicht, aber ich hab mir mit Mathe schon immer recht leicht getan.

Die vorliegende Aufgabe konnte ich aber auch nicht aus dem Handgelenk lösen. Ich besitze jedoch ein absolut geniales Mathe-Buch, in das ich kurz reingeschaut habe...

Dieses Buch kann ich jedem nur empfehlen, der an Mathe interessiert ist:

Meyers Kleine Enzyklopädie Mathematik; ISBN 3-411-07771-9; ca. 800 Seiten
(bei eBay für unter 10 Euro erhältlich)
Ich kenne kein anderes Buch, daß mathematische Fragen so anschaulich und didaktisch gut erläutert.

Gruß, Horst

[Alexander]

Hallo Horst,

hätte ich dich als Mathelehrer gehabt, dann hätte ich weniger Zeit mit Büffeln verbringen müssen. Enfacher kann man es ja wirklich nicht erklären. Danke, auch für den Buchtip. Das Buch werde ich mir bei Gelegenheit besorgen.

Viele Grüsse
Alex

[Horst]

Hallo Alex und alle Interessierten,

für das obengenannte Problem hab ich ein kleines Tool in JavaScript geschrieben und in eine HTML-Seite eingebettet (Link unten).

Natürlich kann das auch jedes große Navigationsprogramm. Manchmal ist es aber dort etwas umständlicher, oder man sitzt gerade an einem Rechner, wo es nicht installiert ist oder sogar gar nicht verfügbar ist (Mac OS, Linux, etc).

Mein Winz-Tool darf auch beliebig runtergeladen, kopiert und weitergegeben werden.

Link: Tool zur Distanzberechnung

Gruß, Horst

[SiggyL]

Hallo,

hier gibt´s das Ganze auch noch mit Google Earth.

Weiß aber nicht, ob das selbe rauskommt wie bei Horst.

Gruß Siggy

[Markus]

Hallo ihr Zwei,

beides gute Tools. Horst's Kalkulator ist mathemathisch geographisch ausgefeilter, dafür ist die Google-Alternative optisch interessanter.

Werde beide in unsere Linkliste aufnehmen.

Grüße,
Markus

[Horst]

Hallo Siggy und alle,

auf der Seite des Explorer Magazin kommt nur fast das gleiche raus.

Dort wird mit einem Erdradius von 6366,707 km gearbeitet. Das ist das arithmetische Mittel zwischen kleinstem und größtem Radius.
Ich verwende als Radius 6371,211. Dieser mittlere Radius ist gebräuchlicher und repräsentiert eine Kugel gleichen Volumens wie die Erde.

Letztendlich ist es aber wurscht, da man mit beiden Werten nie die absolut exakte Entfernung erhält, da die Erde nun mal keine Kugel ist. Und selbst wenn man den tatsächlichen Rotations-Ellipsoiden mühsam mathematisch erfasst hat, steht man vor dem nächsten Problem. Die Landschaft ist nun mal nicht flach. Was ist also die Entfernung zwischen zwei Punkten? Luftlinie mit gegrabenem Tunnel durch den Berg oder oben drüber?

Genauigkeitsfanatiker dürfen auch noch drüber nachdenken, wie exakt eigentliche die (GPS-)Koordinaten der fraglichen Punkte sind. Standen zur Zeit der Ablesung sieben Satelliten am Himmel oder doch nur drei? Wurden mehrere Ablesungen zu verschiedenen Zeiten gemittelt?

Abschließend: auch Navigationsprogramme verwenden den oben skizzierten Berechnungs-Algorithmus. Behalten wir also einfach die genannten 0,3% Genauigkeit für die Distanz zweier Punkte im Hinterkopf (das entspricht z.B. 300m auf 100km).

Gruß, Horst

[Markus]

Hallo Horst,

manchmal hat man ja die Situation, dass man in einem Buch die Koordinate in Grad, Minuten, Sekunden vorfindet und dann selbst eine Dezimalkoordinate hat. Natürlich kann man die Sekunden und Minuten auch zu Fuß in das dezimale Format umrechnen, aber man möchte es ja möglichst einfach und schnell.

Wie wäre es oder ist es Dir möglich, Dein Berechnungstool dahingehend zu erweitern, dass die zwei Punkte unterscheidliche Koordinatentypen haben dürfen. So dass man den Abstand zwischen einer Dezimal- und Zeitkoordinate direkt berechnenen kann.

Rein optisch konnte ich das in der Bildverarbeitung schnell lösen.



Holger, ließe sich da von Deiner Seite etwas machen?

Viele Grüße,
Markus

[Horst]

Hallo Markus,

ich hatte es selbst schon erwogen, aber befürchtet, daß die Optik zu überladen wirkt.

Nun denn, als Version 1.10 ist es jetzt realisiert :-))

Gruß, Horst

[Markus]

Hallo Markus,

ich hatte es selbst schon erwogen, aber befürchtet, daß die Optik zu überladen wirkt.

Nun denn, als Version 1.10 ist es jetzt realisiert )

Gruß, Horst

Hallo Horst,

Danke, das ist super! Das ging ja fast schneller als die Anfertigung meiner optischen Version

Jetzt hat Deine Version der Google-Earth-Version einiges Voraus, denn die bietet ausschließlich nur Dezimalgrad als Berechnungsgrundlage an.

Grüße,
Markus

[SiggyL]

Jetzt hat Deine Version der Google-Earth-Version einiges Voraus, denn die bietet ausschließlich nur Dezimalgrad als Berechnungsgrundlage an.

Das ist wohl jetzt vorbei, nun hat auch diese Version ein Koordinatenumrechnungsfenster.

Gruß Siggy